Что (кто) такое Вронскиан - определение

Вронскиа́н, или определитель Вронского, — функция ${\displaystyle W(f_{1},\dots f_{n})(x)}$, определённая для системы функций ${\displaystyle f_{1}(x),\ldots f_{n}(x)}$ на промежутке ${\displaystyle I}$, дифференцируемых ${\displaystyle (n-1)}$-раз. Задаётся как определитель следующей матрицы:

${\displaystyle W(f_{1},\dots f_{n})(x)=\det {\begin{pmatrix}f_{1}(x)&f_{2}(x)&\cdots &f_{n}(x)\\f'_{1}(x)&f'_{2}(x)&\cdots &f'_{n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{(n-1)}(x)&f_{2}^{(n-1)}(x)&\cdots &f_{n}^{(n-1)}(x)\end{pmatrix}};\qquad x\in I,}$.

Также вронскианом называют функцию, заданную определителем более общего вида. А именно, пусть задано n вектор-функций ${\displaystyle f_{1}(x),\ldots ,f_{n}(x)}$ с n компонентами: ${\displaystyle f_{i}=(f_{i}^{1},\ldots ,f_{i}^{n})}$. Тогда определитель будет выглядеть так (чтобы избежать разночтений обозначим его ${\displaystyle W_{2}}$):

${\displaystyle W_{2}(f_{1},\dots f_{n})(x)=\det {\begin{pmatrix}f_{1}^{1}(x)&f_{2}^{1}(x)&\cdots &f_{n}^{1}(x)\\f_{1}^{2}(x)&f_{2}^{2}(x)&\cdots &f_{n}^{2}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}^{n}(x)&f_{2}^{n}(x)&\cdots &f_{n}^{n}(x)\end{pmatrix}};\qquad x\in I,}$.

Назван в честь польского математика Юзефа Вронского. Термин «вронскиан» предложил шотландский математик Томас Мьюр в своей монографии 1882 года об определителях.

Определитель Вронского применяется для решения дифференциальных уравнений, например для того, чтобы узнать, являются ли найденные решения однородного линейного дифференциального уравнения (либо системы уравнений) линейно независимыми. Это помогает в поиске его общего решения.